För dig som vill riktigt långt
Vad gör miniräknaren när du trycker på sin? Varför fungerar reglerna? Här får du undersöka, härleda och pröva själv.
För bevisen hjälper likformighet, Pythagoras sats, bråk och algebra. De sista delarna använder gränsvärden, derivator och komplexa tal. Svåra ord förklaras när de kommer.
Geometrin bakom knapparna
Välj en spetsig vinkel v i en rätvinklig triangel. Kalla kateten mittemot v för a, kateten intill v för b och hypotenusan för c.
Detta är definitioner. Nu undersöker vi dessa påståenden, dessa definitioner.
Två rätvinkliga trianglar med samma spetsiga vinkel har alla vinklar lika. De är likformiga: motsvarande sidor har en gemensam skalfaktor k > 0. Den andra triangeln får sidorna ka, kb och kc.
Skalfaktorn förkortas bort. Det är därför vi kan göra en tabell med ett sinusvärde per vinkel! Att vrida hela triangeln ändrar inte heller sidornas längder.
Förminska hypotenusan till 1. Då hamnar triangelns hörn på en cirkel med radie 1. Punktens koordinater är (cos v, sin v): cosinus är x och sinus är y. När punkten går vidare runt cirkeln definierar vi funktionerna på samma sätt, även där den spetsiga triangelvinkeln inte längre räcker.
Koordinaterna visas avrundade till fyra decimaler. Nära 90° och 270° växer |tan v| utan gräns. Precis där är tangens odefinierad eftersom cos v = 0.
Alla cirkelpunkter uppfyller x² + y² = 1 enligt Pythagoras. Sätt in koordinaterna så får du cos² v + sin² v = 1. Ett helt varv ger samma punkt igen, så sinus och cosinus har perioden 360°.
Vi kan också mäta vinkeln med båglängd delad med radie: v = s/r radianer. På enhetscirkeln är radien 1, så vinkeltalet är båglängden. Ett varv är 2π radianer, ett halvt varv π och 90° är π/2.
En likbent rätvinklig triangel med kateterna 1 och 1 har hypotenusan √2. Därför är sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2. Halvera sedan en liksidig triangel med sidan 2: halva basen blir 1, hypotenusan 2 och höjden √3. Det ger sin 30° = 1/2 och cos 30° = √3/2.
Rita tangenten x = 1 till enhetscirkeln. Linjen genom origo i riktningen v skär tangenten på höjden tan v, när cos v ≠ 0. Linjens lutning är y/x = sin v / cos v. Därifrån kommer både sidförhållandet och kopplingen till tangentlinjen. Vid 90° är linjerna parallella och möts inte.
Eftersom motsatta cirkelpunkter byter tecken på både x och y har tangens perioden 180°. Det är halva sinusfunktionens period.
En rotation med vinkeln a flyttar x-axelns enhetsvektor (1, 0) till (cos a, sin a). Y-axelns enhetsvektor (0, 1) flyttas till (−sin a, cos a), en kvarts varv längre fram. En vektor är här en pil med en x-del och en y-del.
En rotation bevarar addition av pilar och deras längdskalning. Rotera därför (x, y) genom att lägga ihop x gånger den första roterade enhetsvektorn och y gånger den andra:
Punkten vid vinkeln b är (cos b, sin b). Efter rotationen a ligger den vid a + b. Sätt in dessa koordinater:
Det är alltså geometri som ger formlerna, inte ett mönster vi bara gissar från decimaler. Med b = a får vi sin(2a) = 2 sin a cos a och cos(2a) = 2 cos² a − 1.
En möjlighet är en oändlig potensserie. För ett reellt tal x, mätt i radianer, gäller:
Utropstecknet betyder fakultet: 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Serierna konvergerar, det vill säga närmar sig rätt värde när vi tar med fler termer. Här krävs bara addition, multiplikation och division.
Derivatorna av sinus följer cykeln sin, cos, −sin, −cos, sin. Vid x = 0 blir värdena 0, 1, 0, −1, … Taylors formel ger koefficienten f⁽ⁿ⁾(0)/n! framför xⁿ. Eftersom alla dessa derivator är begränsade till beloppet 1 är restens belopp högst |x|ⁿ⁺¹/(n+1)!, vilket går mot 0 för varje fast x. Därmed är serien faktiskt lika med funktionen, inte bara en formell gissning. Derivatan motiveras i nästa del.
Här räknar vår serie utan att anropa sinus. Jämförelsevärdet kommer från webbläsarens sinusfunktion. Det visar en kontroll, inte ett bevis. I det här intervallet avtar termernas belopp, så nästa terms belopp begränsar trunkeringsfelet. Datorns avrundningsfel tillkommer.
För 30° sätter vi x = π/6. Tre termer ger ungefär 0,50000213. Nästa term är mindre än 0,00000215 i belopp. Det räcker alltså för att bekräfta 0,50000 med fem decimaler.
Det här är en beräkningsmetod. Olika miniräknare och program kan använda andra algoritmer, exempelvis polynomapproximationer eller CORDIC. Vi påstår inte att alla använder just denna serie. Att först reducera vinkeln med periodicitet och symmetri gör beräkningen lättare.
En derivata beskriver ändringstakten. Det geometriska nyckelsteget är gränsvärdet sin h / h → 1 när h → 0, i radianer.
För 0 < h < π/2 ligger en inskriven triangel inuti cirkelsektorn, som ligger inuti en större tangenttriangel. Deras areor ger sin h / 2 ≤ h / 2 ≤ tan h / 2. Därför är cos h ≤ sin h / h ≤ 1. När h → 0 går cos h mot 1, så kläms även kvoten mot 1. För negativa h följer samma sak av symmetrin. Om vi använder grader är sektorns area inte h/2, så just denna gräns får en annan faktor.
Additionsformeln ger nu skillnadskvoten:
Den sista kvoten går mot 1. Den första går mot 0 eftersom cos h − 1 = −2 sin²(h/2). Gränsvärdet blir därför cos x. Samma metod ger (cos x)′ = −sin x.
Den imaginära enheten i definieras av i² = −1. Definiera exponentialfunktionen för komplexa tal med potensserien eᶻ = 1 + z + z²/2! + z³/3! + … Sätt z = ix. Jämna potenser av i växlar mellan 1 och −1; udda potenser växlar mellan i och −i. Serierna konvergerar absolut, så vi får gruppera termerna:
Detta är Eulers formel. Den visar varför rotationer och komplex multiplikation passar ihop. Produkten eⁱᵃeⁱᵇ = eⁱ⁽ᵃ⁺ᵇ⁾ beskriver två rotationer efter varandra.
Pröva, argumentera, generalisera
Skriv först en egen lösning. Fråga sedan: gäller den alltid, vilka antaganden använder jag och kan jag hitta ett motexempel?
Lös sin(2x) = cos x för 0 ≤ x < 2π. Varför är det riskabelt att dividera båda leden med cos x?
Använd dubbla vinkeln och flytta allt till ena sidan.
Antingen cos x = 0, vilket ger x = π/2 eller 3π/2, eller sin x = 1/2, vilket ger x = π/6 eller 5π/6. Division med cos x skulle tappa de två första lösningarna.
På plan mark står du 10 meter från stammen. Höjdvinkeln till toppen är 40°, och ditt öga är 1,5 meter över marken. Härled trädets höjd. Om vinkelmätningen kan vara en grad fel, vilket höjdintervall får du?
Triangelns lodräta katet börjar vid ögonhöjd. Beräkna först 10 tan v, lägg sedan till 1,5. Tangens är växande mellan 39° och 41°.
H = 10 tan 40° + 1,5 ≈ 9,891 meter. Intervallet är [10 tan 39° + 1,5, 10 tan 41° + 1,5] ≈ [9,598, 10,193] meter. Detta antar en lodrät stam, plan mark, korrekt avstånd till stammen och endast vinkelfel. Trädets verkliga form kan bryta mot modellen. Mät från marken med en vuxen om du vill prova.
En elev föreslår sin(a + b) = sin a + sin b. Hitta ett motexempel och förklara med rotationsformeln vad som saknas.
Prova a = b = 90°.
Vänsterledet är sin 180° = 0, men högerledet är 2. De saknade faktorerna är cos b och cos a: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Du använder x − x³/6 för att beräkna sin x. Visa att felet är högst 1/120 när |x| ≤ 1 radian. Kan du ge en skarpare gräns vid x = 0,1?
Serien är alternerande. I detta intervall avtar termernas belopp. Nästa term har beloppet |x|⁵/120.
Felet är högst |x|⁵/120 ≤ 1/120. Vid x = 0,1 blir gränsen 0,1⁵/120 = 1/12 000 000 ≈ 0,00000008333. Gränsen gäller trunkeringsfelet med exakt aritmetik.
Använd cos(2v) = 2 cos² v − 1 för att härleda en halvvinkelformel. Börja med cos 60° = 1/2 och beräkna cos 30°, cos 15° och cos 7,5° utan trigonometriknappar. Vilket tecken ska du välja framför roten, och varför?
Lös ut cos² v och ta en kvadratrot. Använd kvadranten för att avgöra tecknet.
Alla vinklarna här ligger i första kvadranten, så välj positiv rot. Du får cos 30° = √3/2, cos 15° = √(2 + √3)/2 och cos 7,5° = √(2 + √(2 + √3))/2. För andra vinklar måste tecknet prövas på nytt.
Att känna igen ett mönster är en start. Ett bevis förklarar varför det måste gälla. En beräkning ger ett värde, och en felgräns säger hur mycket vi kan lita på värdet. Försök använda alla fyra när du löser nästa problem.
Texten och utmaningarna är skrivna för Matematikmys. Här kan du kontrollera definitioner och formler och läsa vidare på engelska.