Roten ur – tänk baklänges från en kvadrat

1. Vad är roten ur bra för?

Tänk dig ett kvadratiskt golv med arean 16 kvadratmeter. Alla sidor är lika långa. Hur lång är en sida?

Roten ur hjälper dig att gå från arean till sidlängden. Den används också för att räkna ut avstånd, till exempel diagonalen över en kvadrat eller en okänd sida i en rätvinklig triangel. Sådana längder behövs när vi ritar kartor och bygger saker.

2. Först framåt: 4 gånger 4

Fyra rader med fyra rutor i varje ger sexton rutor sammanlagt. Vi skriver 4² = 16. Den lilla tvåan betyder att vi tar talet gånger sig självt: 4 × 4.

Nu går vi baklänges. Vilket tal gånger sig självt blir 16? 4 × 4 = 16, så roten ur 16 är 4.

√16 = 4

Tecknet √ kallas rottecken. ”Roten ur” betyder här kvadratroten ur. Tillbaka till golvet: en sida är 4 meter, eftersom 4 m × 4 m = 16 m².

3. Alla rötter blir inte heltal

√9 är 3 och √16 är 4. Men vad är √10? Eftersom 3 × 3 = 9 och 4 × 4 = 16 måste √10 ligga mellan 3 och 4. Det är ungefär 3,16.

Du behöver inte kunna alla kvadratrötter utantill. Börja med små kvadrater. Ibland räcker en uppskattning, och ibland använder vi en miniräknare.

4. Nu kommer ett tal till: −4

När 4 × 4 = 16 känns tydligt kan vi undersöka negativa tal. Minus gånger minus blir plus. Därför gäller även:

(−4) × (−4) = 16

Både 4 och −4 ger alltså 16 när de kvadreras. Parenteserna visar att hela det negativa talet är en faktor.

5. Två lösningar – men ett värde på rottecknet

Om frågan är ”Vilka tal gånger sig själva blir 16?” kan vi skriva ekvationen:

x² = 16

Då finns två lösningar: x = 4 eller x = −4. Ett kortare sätt att skriva det är:

x = ±4

Tecknet ± läses ”plus eller minus”. Här betyder det två möjliga värden, +4 och −4, inte att du ska addera dem.

Men själva rottecknet √16 betyder bara 4. Vi har bestämt att √ anger den icke-negativa kvadratroten: ett tal som är positivt eller noll. Det gör att tecknet har ett bestämt värde.

Du kan också säga att 16 har två kvadratrötter, 4 och −4. Det är skrivsättet med √ som väljer den icke-negativa av dem. En sidlängd är inte negativ, så golvets sida är fortfarande 4 meter.

6. Roten ur i en triangel

En rätvinklig triangel har två kortare sidor på 3 meter och 4 meter. Pythagoras sats säger att den längsta sidans kvadrat blir 3² + 4².

3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5

Den längsta sidan är alltså 5 meter. Här hjälper roten ur oss att få en längd från en längd i kvadrat. Samma idé används för att beräkna avstånd mellan punkter.

7. Människor räknade med rötter för länge sedan

Vi vet inte vem som först kom på att räkna baklänges från en kvadrat. Men bevarade babyloniska lertavlor visar att människor arbetade med sådana frågor för nästan 4 000 år sedan. Tavlorna kommer från ungefär 1900–1600 före vår tideräkning, i Mesopotamien.

På lertavlan som kallas YBC 7289 finns en kvadrat med diagonaler och ett mycket noggrant närmevärde till √2. Med våra siffror är √2 ungefär 1,4142. Det talet behövs för att jämföra en kvadrats diagonal med dess sida.

De skrev med kilskrift och använde ett annat talsystem än vi. De använde inte vårt moderna rottecken. Exakt hur just det noggranna närmevärdet räknades fram är inte säkert känt.